প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় ব্যবহৃত গণিতের সকল সূত্র এবং গণিতের শর্টকাট বা শর্ট টেকনিক সমূহ

প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় ব্যবহৃত গণিতের সকল সূত্র এবং গণিতের শর্টকাট বা শর্ট টেকনিক সমূহ

 

বীজগণিতের সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. (a+b)²= a²+2ab+b²

2. (a+b)²= (a-b)²+4ab

3. (a-b)²= a²-2ab+b²

4. (a-b)²= (a+b)²-4ab

5. a² + b²= (a+b)²-2ab.

6. a² + b²= (a-b)²+2ab.

7. a²-b²= (a +b)(a -b)

8. 2(a²+b²)= (a+b)²+(a-b)²

9. 4ab = (a+b)²-(a-b)²

10. ab = {(a+b)/2}²-{(a-b)/2}²

11. (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)

12. (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

13. (a+b)³ = a³+b³+3ab(a+b)

14. a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³

15. (a-b)³= a³-b³-3ab(a-b)

16. a³+b³= (a+b) (a²-ab+b²)

17. a³+b³= (a+b)³-3ab(a+b)

18. a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)

19. a³-b³ = (a-b)³+3ab(a-b)

20. (a² + b² + c²) = (a + b + c)² – 2(ab + bc + ca)

21. 2 (ab + bc + ca) = (a + b + c)² – (a² + b² + c²)

22. (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3 (a + b) (b + c) (c + a)

23. a³ + b³ + c³ – 3abc =(a+b+c)(a² + b²+ c²–ab–bc– ca)

24. a3 + b3 + c3 – 3abc =½ (a+b+c) { (a–b)²+(b–c)²+(c–a)²}

25.(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab

26. (x + a) (x – b) = x² + (a – b) x – ab

27. (x – a) (x + b) = x² + (b – a) x – ab

28. (x – a) (x – b) = x² – (a + b) x + ab

29. (x+p) (x+q) (x+r) = x³ + (p+q+r) x² + (pq+qr+rp) x +pqr

30. bc (b-c) + ca (c- a) + ab (a - b) = - (b - c) (c- a) (a - b)

31. a² (b- c) + b² (c- a) + c² (a - b) = -(b-c) (c-a) (a - b)

32. a (b² - c²) + b (c² - a²) + c (a² - b²) = (b - c) (c- a) (a - b)

33. a³ (b - c) + b³ (c-a) +c³ (a -b) =- (b-c) (c-a) (a - b)(a + b + c)

34. b²-c² (b²-c²) + c²a²(c²-a²)+a²b²(a²-b²)=-(b-c) (c-a) (a-b) (b+c) (c+a) (a+b)

35. (ab + bc+ca) (a+b+c) - abc = (a + b)(b + c) (c+a)

36. (b + c)(c + a)(a + b) + abc = (a + b +c) (ab + bc + ca)

 

আয়তক্ষেত্র সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক

2. আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)একক

3. আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য²+প্রস্থ²)একক

4. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য= ক্ষেত্রফল÷প্রস্ত একক

5. আয়তক্ষেত্রের প্রস্ত= ক্ষেত্রফল÷দৈর্ঘ্য একক

 

বর্গক্ষেত্র সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (যে কোন একটি বাহুর দৈর্ঘ্য)² বর্গ একক

2. বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × এক বাহুর দৈর্ঘ্য একক

3. বর্গক্ষেত্রের কর্ণ=√2 × এক বাহুর দৈর্ঘ্য একক

4. বর্গক্ষেত্রের বাহু=√ক্ষেত্রফল বা পরিসীমা÷4 একক

 

ত্রিভূজ সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = √¾×(বাহু)²

2. সমবাহু ত্রিভূজের উচ্চতা = √3/2×(বাহু)

3. বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √s(s-a) (s-b) (s-c)

এখানে a, b, c ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য, s=অর্ধপরিসীমা এবং পরিসীমা 2s=(a+b+c)

4. সাধারণ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ½ (ভূমি×উচ্চতা) বর্গ একক

5. সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ½(a×b) (এখানে ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় a এবং b.)

6. সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = 2√4b²-a²/4 এখানে, a= ভূমি; b= অপর বাহু।

7. ত্রিভুজের উচ্চতা = 2(ক্ষেত্রফল/ভূমি)

8. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ =√ লম্ব²+ভূমি²

9. লম্ব =√অতিভূজ²-ভূমি²

10. ভূমি = √অতিভূজ²-লম্ব²

11. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = √b² - a²/4 (এখানে a= ভূমি; b= সমান দুই বাহুর দৈর্ঘ্য।)

12. ত্রিভুজের পরিসীমা=তিন বাহুর সমষ্টি

 

রম্বস সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. রম্বসের ক্ষেত্রফল = ½× (কর্ণদুইটির গুণফল)

2. রম্বসের পরিসীমা = 4× এক বাহুর দৈর্ঘ্য

 

সামান্তরিক সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা =

2. সামান্তরিকের পরিসীমা = 2×(সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি)

  

ট্রাপিজিয়াম সংক্রান্ত সকল সূত্রঃ

1. ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল =½×(সমান্তরাল বাহু দুইটির যােগফল)×উচ্চতা

 

ঘনক সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. ঘনকের ঘনফল = (যেকোন বাহু)³ ঘন একক

2. ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6× বাহু² বর্গ একক

3. ঘনকের কর্ণ = √3×বাহু একক

 

আয়তঘনক সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. আয়তঘনকের ঘনফল = (দৈৰ্ঘা×প্রস্ত×উচ্চতা) ঘন একক

2. আয়তঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ একক

[ যেখানে a = দৈর্ঘ্য b = প্রস্ত c = উচ্চতা ]

3. আয়তঘনকের কর্ণ = √a²+b²+c² একক

4. চারি দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)×উচ্চতা

 

বৃত্ত সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²=22/7r² {এখানে π=ধ্রুবক 22/7, বৃত্তের ব্যাসার্ধ= r}

2. বৃত্তের পরিধি = 2πr

3. গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক

4. গোলকের আয়তন = 4πr³÷3 ঘন একক

5. h উচ্চতায় তলচ্চেদে উৎপন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = √r²-h² একক

6. বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s=πrθ/180° , এখানে θ =কোণ

 

সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার/ বেলন সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h আর হেলানো তলের উচ্চতা l হলে,

1. সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h

2. সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল (সিএসএ) = 2πrh।

3. সিলিন্ডারের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (টিএসএ) = 2πr (h + r)

 

সমবৃত্তভূমিক কোণক সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

সমবৃত্তভূমিক ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h আর হেলানো তলের উচ্চতা l হলে,

1. কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল= πrl বর্গ একক

2. কোণকের সমতলের ক্ষেত্রফল= πr(r+l) বর্গ একক

3. কোণকের আয়তন= ⅓πr²h ঘন একক

 

✮বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা= n(n-3)/2

✮বহুভুজের কোণগুলির সমষ্টি=(2n-4)সমকোণ (এখানে n=বাহুর সংখ্যা)

★চতুর্ভুজের পরিসীমা=চার বাহুর সমষ্টি

 

ত্রিকোণমিতির সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. sinθ= लম্ব/অতিভূজ

2. cosθ= ভূমি/অতিভূজ

3. taneθ= लম্ব/ভূমি

4. cotθ= ভূমি/লম্ব

5. secθ= অতিভূজ/ভূমি

6. cosecθ= অতিভূজ/লম্ব

7. sinθ=1/cosecθ, cosecθ=1/sinθ

8. cosθ=1/secθ, secθ=1/cosθ

9. tanθ=1/cotθ, cotθ=1/tanθ

10. sin²θ + cos²θ= 1

11. sin²θ = 1 - cos²θ

12. cos²θ = 1- sin²θ

13. sec²θ - tan²θ = 1

14. sec²θ = 1+ tan²θ

15. tan²θ = sec²θ - 1

16, cosec²θ - cot²θ = 1

17. cosec²θ = cot²θ + 1

18. cot²θ = cosec²θ - 1

 

বিয়োগের সূত্রাবলি

1. বিয়োজন-বিয়োজ্য =বিয়োগফল।

2.বিয়োজন=বিয়োগফল + বিয়োজ্য

3.বিয়োজ্য=বিযোজন-বিয়োগফল

 

গুণের সূত্রাবলি

1. গুণফল =গুণ্য × গুণক

2. গুণক = গুণফল ÷ গুণ্য

3. গুণ্য= গুণফল ÷ গুণক

 

ভাগের সূত্রাবলি

নিঃশেষে বিভাজ্য না হলে।

1. ভাজ্য= ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ।

2. ভাজ্য= (ভাজ্য— ভাগশেষ) ÷ ভাগফল।

3. ভাগফল = (ভাজ্য — ভাগশেষ)÷ ভাজক।

 

*নিঃশেষে বিভাজ্য হলে।

4. ভাজক= ভাজ্য÷ ভাগফল।

5. ভাগফল = ভাজ্য ÷ ভাজক।

6. ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল।

 

ভগ্নাংশের ল.সা.গু ও গ.সা.গু সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগু লোর গ.সা.গু / হরগু লোর ল.সা.গু

2. ভগ্নাংশের ল.সা.গু =লব গুলোর ল.সা.গু /হর গুলোর গ.সা.গু

3. ভগ্নাংশদ্বয়ের গুণফল = ভগ্নাংশদ্বয়ের ল.সা.গু × ভগ্নাংশদ্বয়ের গ.সা.গু.

 

গড় নির্ণয় সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. গড় = রাশি সমষ্টি /রাশি সংখ্যা

2. রাশির সমষ্টি = গড় ×রাশির সংখ্যা

3. রাশির সংখ্যা = রাশির সমষ্টি ÷ গড়

4. আয়ের গড় = মোট আয়ের পরিমাণ / মোট লোকের সংখ্যা

5. সংখ্যার গড় = সংখ্যা গুলোর যোগফল /সংখ্যার পরিমান বা সংখ্যা

6. ক্রমিক ধারার গড় =শেষ পদ +১ম পদ /2

 

সুদকষার পরিমান নির্নয় সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. সুদ = (সুদের হার×আসল×সময়) ÷১০০

2. সময় = (100× সুদ)÷ (আসল×সুদের হার)

3. সুদের হার = (100×সুদ)÷(আসল×সময়)

4. আসল = (100×সুদ)÷(সময়×সুদের হার)

5. আসল = {100×(সুদ-মূল)}÷(100+সুদের হার×সময় )

6. সুদাসল = আসল + সুদ

7. সুদাসল = আসল ×(1+ সুদের হার)× সময় |[চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে]।

 

লাভ-ক্ষতির এবং ক্রয়-বিক্রয় সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

1. লাভ = বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য

2. ক্ষতি = ক্রয়মূল্য-বিক্রয়মূল্য

3. ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য-লাভ

অথবা, ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি

4.বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ

অথবা, বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য-ক্ষতি

 

1-100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যামনে রাখার সহজ উপায়ঃ

শর্টকাট :- 44 -22 -322-321

★ 1থেকে100পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=25টি

★ 1থেকে10পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=4টি 2,3,5,7

★ 11থেকে20পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=4টি 11,13,17,19

★ 21থেকে30পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=2টি 23,29

★ 31থেকে40পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=2টি 31,37

★41থেকে50পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=3টি 41,43,47

★ 51থেকে 60পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=2টি 53,59

★ 61থেকে70পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=2টি 61,67

★ 71থেকে80 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=3টি 71,73,79

★ 81থেকে 90পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=2টি 83,89

★ 91থেকে100পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=1টি 97

★ 1-100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা 25 টিঃ

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

★ 1-100পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার যোগফল= 1060।

 

1.কোন কিছুর গতিবেগ= অতিক্রান্ত দূরত্ব/সময়

2.অতিক্রান্ত দূরত্ব = গতিবেগ×সময়

3.সময়= মোট দূরত্ব/বেগ

4.স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকরী গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতিবেগ + স্রোতের গতিবেগ।

5.স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার কার্যকরী গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতিবেগ - স্রোতের গতিবেগ

 

সরল সুদ সংক্রান্ত সকল সূত্র সমূহঃ

যদি আসল=P, সময়=T, সুদের হার=R, সুদ-আসল=A হয়, তাহলে

1.সুদের পরিমাণ= PRT/100

2.আসল= 100×সুদ-আসল(A)/100+TR

 

১. নৌকার গতি স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় 10 কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে 2 কি.মি.। স্রোতের বেগ কত?

টেকনিক- স্রোতের বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ - স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ) /2

= (10 - 2)/2=

= 4 কি.মি.

 

 

২. একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় 8 কি.মি.এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘন্টায় 4 কি.মি.

যায়। নৌকার বেগ কত?

টেকনিক- নৌকার বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ)/2

= (8 + 4)/2

=6 কি.মি.

 

৩. নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে 10 কি.মি. ও 5 কি.মি.। নদীপথে 45 কি.মি. পথ একবার গিয়ে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

টেকনিক- মোট সময় = [(মোট দূরত্ব/ অনুকূলে বেগ) + (মোট দূরত্ব/প্রতিকূলে বেগ)]

উত্তর:স্রোতের অনুকূলে নৌকারবেগ = (10+5) = 15 কি.মি.

স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (10-5) = 5কি.মি.

[(45/15) +(45/5)]

= 3+9

=12 ঘন্টা

 

৩. সমান্তর ধারার ক্রমিক সংখ্যার যোগফল-

(যখন সংখ্যাটি1 থেকে শুরু)1+2+3+4+......+n হলে এরূপ ধারার সমষ্টি= [n(n+1)/2]

n=শেষ সংখ্যা বা পদ সংখ্যা s=যোগফল

প্রশ্নঃ 1+2+3+....+100 =?

সমাধানঃ[n(n+1)/2]

= [100(100+1)/2]

= 5050

 

৪. সমান্তর ধারার বর্গ যোগ পদ্ধতির ক্ষেত্রে,-

প্রথম n পদের বর্গের সমষ্টি S= [n(n+1)2n+1)/6]

(যখন 1² + 2²+ 3² + 4²........ +n²)

প্রশ্নঃ(1² + 3²+ 5² + ....... +31²) সমান কত?

সমাধানঃ S=[n(n+1)2n+1)/6]

= [31(31+1)2×31+1)/6]

=31

 

৫. সমান্তর ধারার ঘনযোগ পদ্ধতির ক্ষেত্রে-

প্রথম n পদের ঘনের সমষ্টি S= [n(n+1)/2]2 (যখন 1³+2³+3³+.............+n³)

প্রশ্নঃ1³+2³+3³+4³+…………+10³=?

সমাধানঃ [n(n+1)/2]2

= [10(10+1)/2]2

= 3025

 

৬. পদ সংখ্যা ও পদ সংখ্যার সমষ্টি নির্নয়ের ক্ষেত্রেঃ

পদ সংখ্যা N= [(শেষ পদ – প্রথম পদ)/প্রতি পদে বৃদ্ধি] +1

প্রশ্নঃ5+10+15+…………+50=?

সমাধানঃ পদসংখ্যা = [(শেষ পদ – প্রথমপদ)/প্রতি পদে বৃদ্ধি]+1

= [(50 – 5)/5] + 1

=10

সুতরাং পদ সংখ্যার সমষ্টি

= [(5 + 50)/2] ×10

= 275

 

৭. n তম পদ=a + (n-1)d

এখানে, n =পদসংখ্যা, a = 1ম পদ, d= সাধারণ অন্তর

প্রশ্নঃ 5+8+11+14+.......ধারাটির কোন পদ 302?

সমাধানঃ ধরি, n তম পদ =302

বা, a + (n-1)d=302

বা, 5+(n-1)3 =302

বা, 3n=300

বা, n=100

 

৭. সমান্তর ধারার ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল-S=M² এখানে,M=মধ্যেমা=(1ম সংখ্যা+শেষ সংখ্যা)/2

প্রশ্নঃ1+3+5+.......+19=কত?

সমাধানঃ S=M²

={(1+19)/2}²

=(20/2)²

=100

 

1. জোড় সংখ্যা + জোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা। যেমনঃ 2 + 6 = 8.

2. জোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা।  যেমনঃ 6 + 7 = 13.

3. বিজোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা। যেমনঃ 3 + 5 = 8.

4. জোড় সংখ্যা × জোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা। যেমনঃ 6 × 8 = 48.

5.জোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা।  যেমনঃ 6 × 7 = 42

6.বিজোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা। যেমনঃ 3 × 9 = 27